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    En matemáticas se usa el término función para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. 

    El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xⁿ de la variable x. 

    En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. 

    Recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, ..., xk.

    Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, pueden ser números reales o complejos.

    La expresión y = f(x), leída "y es función de x" indica la interdependencia entre las variables x e y; f(x) se da normalmente en forma explícita, como f(x) = x² - 3x + 5, o mediante una regla expresada en palabras, como f(x) es el primer entero mayor que x para todos aquellos x que sean reales. Si a es un número, entonces f(a) es el valor de la función para el valor x = a. Así, en el primer ejemplo, f(3) = 3² - 3 · 3 + 5 = 5, f(-4) = (-4)2 - 3(-4) + 5 = 33; en el segundo ejemplo, f(3) = f(3,1) = f(ð) = 4.

    La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. Trataremos de explicar el concepto de función en las matemáticas de nuestros días: Sean X e Y dos conjuntos con elementos cualesquiera; la variable x representa un elemento del conjunto X, y la variable y representa un elemento del conjunto Y. Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo que los de Y. Por ejemplo, X puede ser el conjunto de los doce signos del zodíaco e Y el conjunto de los enteros positivos. Sea P el conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, y) y sea F un subconjunto de P con la propiedad de que si (x1, y1) y (x2, y2) son dos elementos de F, entonces si y1 ≠ y2 implica que x1 ≠ x2 esto es, F contiene no más de un par ordenado con una x dada como primer elemento. (Si x1 ≠ x2, sin embargo, puede ocurrir que y1 = y2 ). 

    Por tanto, una función queda ahora definida como el conjunto F de pares ordenados, con una condición señalada, y se escribe F: X → Y. El conjunto X1 de las x que aparecen como primer elemento de los pares ordenados de F se denomina dominio de la función F; el conjunto Y1 de las y que aparecen como segundo elemento de los pares ordenados se denomina rango de la función F. De esta manera, {(Piscis, 7), (Sagitario, 4), (Capricornio, 4)} es una función en la que X = conjunto de los doce signos del zodíaco e Y = conjunto de los enteros positivos; el dominio son los tres signos mencionados y el rango son 4 y 7.

    El concepto moderno de función está relacionado con la idea de Dirichlet. Dirichlet consideró que y = x² - 3x + 5 era una función; hoy en día, se considera que y = x² - 3x + 5 es la relación que determina la y correspondiente a una x dada para un par ordenado de la función ; así, la relación anterior determina que (3, 5), (-4, 33) son dos de los infinitos elementos de la función. 

  

MATEMÁTICOS EN LA HISTORIA

 

	RENÉ DESCARTES
	1. INTRODUCCIÓN Y VIDA 2. MATEMÁTICAS 3. CIENCIA 4. FILOSOFÍA

1. INTRODUCCIÓN Y VIDA

René Descartes está considerado el fundador de la filosofía moderna. Nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye , era hijo de un miembro de la baja nobleza y pertenecía a una familia que había dado algunos hombres doctos. Cuando tenía ocho años de edad fue enviado al colegio jesuítico de La Flèche (en Anjou), donde permaneció 10 años. Junto a las disciplinas clásicas tradicionales, también aprendió matemáticas y las principales doctrinas del escolasticismo, tendentes a orientar la razón humana hacia la comprensión de la doctrina cristiana. El catolicismo ejerció una gran influencia en Descartes a lo largo de toda su vida. 

    Tras concluir su periodo de formación primaria en dicho centro, cursó estudios de Derecho en la Universidad de Poitiers, donde se licenció en 1616. Sin embargo, nunca llegó a ejercer como jurista. 

    En 1618 entró al servicio del príncipe Mauricio I de Nassau-Orange, con la intención de seguir la carrera militar; posteriormente sirvió en otros ejércitos. Pero su interés se centró siempre en los problemas de las matemáticas y la filosofía, a los que dedicó el resto de su vida. 

    Tras realizar numerosos viajes residió en París desde 1625 a 1628. Durante este periodo se dedicó al estudio de la filosofía y también realizó experimentos de óptica. En 1628, después de vender las propiedades que poseía en Francia, se trasladó a las Provincias Unidas y vivió en diferentes ciudades (Amsterdam, Deventer, Utrecht y Leiden).

    Fue quizá durante los primeros años que pasó en Holanda cuando escribió su primera obra importante, Ensayos filosóficos, publicada en 1637 y que estaba integrada por tres ensayos (Dióptrica, Geometría y Meteoros), a los que servía de prefacio el que luego sería su escrito más famoso, Discurso del método, en el que exponía sufilosofía. Ésta fue seguida de otras obras, entre ellas Meditaciones metafísicas (1641) y Los principios de la filosofía (1644). 

    Sus últimos escritos estuvieron dedicados a Isabel Estuardo, reina de Bohemia que vivía en las Provincias Unidas y con quien Descartes había entablado una profunda amistad. En 1649 fue invitado a acudir a Estocolmo para impartir clases de filosofía a la reina Cristina de Suecia. Los rigores del invierno le provocaron una neumonía, a consecuencia de la cual falleció, en la capital sueca, el 11 de febrero de 1650.

2. MATEMÁTICAS                VOLVER 
    Su contribución más notable a las matemáticas fue la sistematización de la geometría analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen y contribuyó también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones. Fue el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. También inventó el método de los exponentes (como en x²) para indicar las potencias de los números. Además, formuló la regla (conocida como ley cartesiana de los signos) para descifrar el número de raíces negativas y positivas de cualquier ecuación algebraica.

3. CIENCIA                                           VOLVER 
Su filosofía, denominada en ocasiones cartesianismo, le llevó a elaborar explicaciones complejas y erróneas de diversos fenómenos físicos. Éstas, sin embargo, tuvieron el valor de sustituir los vagos conceptos espirituales de la mayoría de los autores clásicos por un sistema de interpretaciones mecánicas de los fenómenos físicos. Tuvo que renunciar a su primera concepción de un sistema de planetas que rotaban en torno al Sol (próxima a la teoría de Copérnico sobre el Universo) cuando fue considerada herética por la Iglesia católica. En su lugar, ideó la doctrina de los vórtices o torbellinos de materia etérea, en la que el espacio estaba pleno de materia, en diversos estados, girando alrededor del Sol.

En el campo de la fisiología, sostuvo que parte de la sangre era un fluido misterioso que él llamó "espíritu animal". Creía que éste entraba en contacto con la sustancia pensante en el cerebro y fluía a lo largo de los canales de los nervios para animar los músculos y otras partes del cuerpo.

Sus estudios sobre óptica culminaron con el descubrimiento de la ley fundamental de la reflexión: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. La publicación de su citado ensayo sobre óptica supuso la primera exposición de este principio. Además, el hecho de que Descartes tratara la luz como un tipo de fuerza en un medio sólido preparó el terreno para la teoría ondulatoria de la luz.

 

4. FILOSOFÍA                                          VOLVER 
Descartes trató de aplicar a la filosofía los procedimientos racionales inductivos de la ciencia y, más concretamente, de las matemáticas. Antes de configurar su método, la filosofía había estado dominada por el escolástico, que se basaba por completo en comparar y contrastar las opiniones de autoridades reconocidas. Rechazando este sistema, Descartes estableció: "En nuestra búsqueda del camino directo a la verdad, no deberíamos ocuparnos de objetos de los que no podamos lograr una certidumbre similar a las de las demostraciones de la aritmética y la geometría". Por esta razón determinó no creer ninguna verdad hasta haber establecido las razones para creerla. Comenzó sus investigaciones a partir de un único conocimiento seguro: "Cogito, ergo sum" ("Pienso, luego existo"). Partiendo del principio de que la clara consciencia del pensamiento prueba su propia existencia, mantuvo la existencia de Dios. Dios, según la filosofía de Descartes, creó dos clases de sustancias que constituyen el todo de la realidad. Una clase era la sustancia pensante, o inteligencia, y la otra la sustancia extensa, o física.

 

	GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ
	1. INTRODUCCIÓN 2. MATEMÁTICAS 3. FILOSOFÍA

1. INTRODUCCIÓN  

Leibniz(1646-1716), también conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz fue un filósofo, matemático y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. Nacido en Leipzig, se educó en las universidades de esta ciudad, de Jena y de Altdorf. Desde 1666 (año en que fue premiado con un doctorado en leyes) trabajó para Johann Philipp von Schönborn, arzobispo elector de Maguncia, en diversas tareas legales, políticas y diplomáticas. En 1673, cuando cayó el régimen del elector, Leibniz marchó a París. Permaneció allí durante tres años y también visitó Amsterdam y Londres, donde dedicó su tiempo al estudio de las matemáticas, la ciencia y la filosofía. En 1676 fue designado bibliotecario y consejero privado en la corte de Hannover. Durante los 40 años siguientes, hasta su muerte, sirvió a Ernesto Augusto, duque de Brunswick-Lüneburg, más tarde elector de Hannover, y a Jorge Luis, elector de Hannover, después Jorge I, rey de Gran Bretaña.
Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física.

2. MATEMÁTICAS                  VOLVER  
La contribución de Leibniz a las matemáticas consistió en enumerar en 1675 los principios fundamentales del cálculo infinitesimal. Esta explicación se produjo con independencia de los descubrimientos del científico inglés Isaac Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el método de notación ideado por Leibniz fue adoptado universalmente. En 1672 también inventó una máquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.

3. FILOSOFÍA                         VOLVER 
En la exposición filosófica de Leibniz, el Universo se compone de innumerables centros conscientes de fuerza espiritual o energía, conocidos como mónadas. Cada mónada representa un microcosmos individual, que refleja el Universo en diversos grados de perfección y evolucionan con independencia del resto de las mónadas. El Universo constituido por estas mónadas es el resultado armonioso de un plan divino. Los humanos, sin embargo, con su visión limitada, no pueden aceptar la existencia de las enfermedades y la muerte como partes integrantes de la armonía universal. Este Universo de Leibniz, "el mejor de los mundos posibles", es satirizado como una utopía por el autor francés Voltaire en su novela Cándido (1759).
Entre las obras filosóficas fundamentales de Leibniz se incluyen Ensayos de Teodicea sobre la bondad de Dios, la libertad del hombre y el origen del mal (2 vols., 1710), Monadología (1714; publicado en latín como Principia Philosophiae, 1721), y Nuevo tratado sobre el entendimiento humano (1703; pub. 1765). Los dos últimos influyeron mucho en los filósofos alemanes del siglo XVIII, incluyendo a Christian von Wolff e Immanuel Kant.